有限数学示例

$79 \sin^{2} (x) = \cos (2 x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\cos (2 x)$ 。

$79 \sin^{2} (x) - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 2

化简等式左边。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$79 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.2

运用分配律。

$79 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$79 \sin^{2} (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$79 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2

将 $79 \sin^{2} (x)$ 和 $2 \sin^{2} (x)$ 相加。

$- 1 + 81 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 3

对 $- 1 + 81 \sin^{2} (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

将 $81 \sin^{2} (x)$ 重写为 ${(9 \sin (x))}^{2}$ 。

$- 1 + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

解题步骤 3.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- 1^{2} + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

解题步骤 3.3

将 $- 1^{2}$ 和 ${(9 \sin (x))}^{2}$ 重新排序。

${(9 \sin (x))}^{2} - 1^{2} = 0$

解题步骤 3.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 9 \sin (x)$ 和 $b = 1$ 。

$(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$9 \sin (x) + 1 = 0$

$9 \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 5

将 $9 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $9 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$9 \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $9 \sin (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$9 \sin (x) = - 1$

解题步骤 5.2.2

将 $9 \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $9 \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{9}$

解题步骤 5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = - \frac{1}{9}$

解题步骤 5.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1}{9})$

解题步骤 5.2.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.1

计算 $\arcsin (- \frac{1}{9})$ 。

$x = - 0.11134101$

解题步骤 5.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$

解题步骤 5.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.2.6.1

从 $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 5.2.6.2

得出的角 $3.25293366$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ 共边。

$x = 3.25293366$

解题步骤 5.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.8

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 5.2.8.1

将 $2 π$ 加到 $- 0.11134101$ 以求正角。

$- 0.11134101 + 2 π$

解题步骤 5.2.8.2

从 $2 π$ 中减去 $0.11134101$ 。

$6.17184429$

解题步骤 5.2.8.3

列出新角。

$x = 6.17184429$

解题步骤 5.2.9

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $9 \sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $9 \sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$9 \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $9 \sin (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$9 \sin (x) = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $9 \sin (x) = 1$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $9 \sin (x) = 1$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{9}$

解题步骤 6.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1}{9})$

解题步骤 6.2.4

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.1

计算 $\arcsin (\frac{1}{9})$ 。

$x = 0.11134101$

解题步骤 6.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

解题步骤 6.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.6.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 - 0.11134101$

解题步骤 6.2.6.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

解题步骤 6.2.6.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.11134101$ 。

$x = 3.03025163$

解题步骤 6.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n, 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并答案。

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解题步骤 8.1

将 $3.25293366 + 2 π n$ 和 $0.11134101 + 2 π n$ 合并为 $0.11134101 + π n$ 。

$x = 0.11134101 + π n, 6.17184429 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.2

将 $6.17184429 + 2 π n$ 和 $3.03025163 + 2 π n$ 合并为 $3.03025163 + π n$ 。

$x = 0.11134101 + π n, 3.03025163 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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